গণিতের জাদু: বড় সংখ্যার যোগফল বের করার ম্যাজিক ফর্মুলা

কুইজ, ভাইভা বা গণিত অলিম্পিয়াডের মতো প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষাগুলোতে অনেক সময় হিসাব করার দক্ষতা যাচাই করা হয়। এসব জায়গায় সাধারণ নিয়মে অঙ্ক কষতে গেলে অনেক সময় নষ্ট হয়। প্রতিযোগিতায় তো প্রতিটি সেকেন্ডই ভীষণ দামি! চলো, আজ আমরা এমন একটা জাদুকরী সূত্র শিখব, যার সাহায্যে বড় বড় যোগ করা যাবে চোখের নিমেষে। তবে যোগ বলে অবহেলা করো না, বড় সংখ্যার যোগ করাও কিন্তু সময়সাপেক্ষ ব্যাপার। তুমি হয়তো সাধারণ পদ্ধতিতে এই যোগ করতেই পারবে, তবে সময় লাগবে অনেক।

ছোট্ট প্রশ্ন দিয়ে শুরু

তবে শুরু করার আগে একটা ছোট্ট প্রশ্ন করি। ১, ২ এবং ৩—এই তিনটি অঙ্ক ব্যবহার করে তিন অঙ্কের যতগুলো সংখ্যা বানানো যায়, তাদের যোগফল কত? মনে রেখ, কোনো অঙ্ক একাধিকবার ব্যবহার করা যাবে না। এর সাধারণ উত্তর কী হতে পারে?

খুব সহজ! আমরা তো চাইলে হাতে গুনেই তিন অঙ্কের সম্ভাব্য সব কটি সংখ্যা লিখে ফেলতে পারি। সংখ্যাগুলো হলো: ১২৩, ২১৩, ১৩২, ৩১২, ৩২১, ২৩১। এবার এদের সব কটিকে যোগ করলে পাবো: ১২৩ + ২১৩ + ১৩২ + ৩১২ + ৩২১ + ২৩১ = ১৩৩২।

—

কিন্তু ভেবে দেখো তো, অঙ্কের পরিমাণ যদি বাড়িয়ে দেওয়া হয়? ধরো, তোমাকে বলা হলো ১, ২, ৩ এবং ৪ ব্যবহার করে চার অঙ্কের যতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়, তাদের যোগফল বের করতে। এ ক্ষেত্রে চার অঙ্কের সম্ভাব্য সব কটি সংখ্যা খাতায় লিখে তারপর যোগ করাটা ভীষণ সময়সাপেক্ষ এবং বেশ কঠিন কাজ। চলো, এবার এই কঠিন কাজটাই একটা স্মার্ট উপায়ে করার নিয়ম শিখে নিই।

বিন্যাসের সূত্র

ধরে নিই, আমাদের চারটি অঙ্ক হলো ক, খ, গ এবং ঘ। তাহলে এদের দিয়ে গঠিত চার অঙ্কের যেকোনো সংখ্যাকে আমরা এভাবে লিখতে পারি: ১০০০ক + ১০০খ + ১০গ + ঘ।

এখন সংখ্যাগুলো সাজানোর সময় এককের ঘরে বসানোর জন্য আমাদের কাছে ৪টি অপশন আছে। যেহেতু আমরা কোনো অঙ্ক দুবার ব্যবহার করতে পারব না, তাই দশকের ঘরের জন্য আমাদের হাতে অপশন থাকবে ৩টি। একইভাবে, শতকের ঘরের জন্য অপশন থাকবে ২টি। আর হাজারের ঘরের জন্য অপশন বেঁচে থাকবে মাত্র ১টি। সুতরাং, এই ৪টি অঙ্ক দিয়ে মোট যতগুলো চার অঙ্কের সংখ্যা গঠন করা যায়, তার হিসাব হলো: ৪ × ৩ × ২ × ১ = ২৪টি।

গণিতের বিন্যাসের সূত্র ব্যবহার করলেও আমরা দেখতে পাই, ৪টি নির্দিষ্ট অঙ্ক দিয়ে চার অঙ্কের সংখ্যা গঠন করার উপায় হলো 4P4 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24। মজার ব্যাপার হলো, এই ২৪টি সংখ্যার প্রতিটি স্থানীয় মানে ১, ২, ৩ এবং ৪ সমানসংখ্যক বার বসবে। যেহেতু মোট সংখ্যা ২৪টি, তাই আমরা বলতে পারি, প্রতিটি অঙ্ক প্রতিটি স্থানে বসবে (২৪ ÷ ৪) = ৬ বার।

তার মানে, এককের ঘরে ১ বসবে ছয়বার, ২ বসবে ছয়বার, ৩ বসবে ছয়বার এবং ৪-ও বসবে ছয়বার। তাহলে, ২৪টি সংখ্যার এককের ঘরের অঙ্কগুলোর মোট যোগফল হবে: ৬ × (১ + ২ + ৩ + ৪)।

একইভাবে, দশকের ঘরের অঙ্কগুলোর মোট যোগফল হবে: ৬ × ১০ × (১ + ২ + ৩ + ৪)। সহজ কথায়, আমরা যদি সব কটি স্থানীয় মান যোগ করি, তবে পাব:

৬ × ১০০০ (১ + ২ + ৩ + ৪) + ৬ × ১০০ (১ + ২ + ৩ + ৪) + ৬ × ১০ (১ + ২ + ৩ + ৪) + ৬ (১ + ২ + ৩ + ৪)

= ৬ × [১০০০ (১ + ২ + ৩ + ৪) + ১০০ (১ + ২ + ৩ + ৪) + ১০ (১ + ২ + ৩ + ৪) + (১ + ২ + ৩ + ৪)]

= ৬ × (১ + ২ + ৩ + ৪) × (১০০০ + ১০০ + ১০ + ১)

= ৬ × ১০ × ১১১১ = ৬৬৬৬০

সরাসরি ফর্মুলা

পুরো ধারণাটি যেহেতু এখন আমাদের কাছে পরিষ্কার, তাই চলো এবার এর সরাসরি ফর্মুলাটি দেখে নিই।

ম্যাজিক ফর্মুলা

n-সংখ্যক শূন্য নয় এমন অঙ্ক দিয়ে গঠিত সব কটি সংখ্যার যোগফল বের করার নিয়ম:

1. যদি কোনো অঙ্কের পুনরাবৃত্তি না ঘটে: (n-1)! × (অঙ্কগুলোর যোগফল) × (১…nতম বার)
2. যদি অঙ্কের পুনরাবৃত্তি করার সুযোগ থাকে: n^(n-1) × (অঙ্কগুলোর যোগফল) × (১…nতম বার)

সূত্রটা ভালোভাবে মাথার ভেতর গেঁথে নেওয়ার জন্য দুটি উদাহরণ দেখে নিই।

উদাহরণ ১: পুনরাবৃত্তি সহ

১, ২, ৩ এবং ৪ ব্যবহার করে চার অঙ্কের যতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়, তাদের যোগফল বের করতে হবে। এ ক্ষেত্রে অঙ্কের পুনরাবৃত্তি করা যাবে। যেহেতু এখানে একই অঙ্ক বারবার ব্যবহার করা যাবে, তাই আমরা দ্বিতীয় সূত্রটি ব্যবহার করব। এখানে অঙ্ক আছে ৪টি, তাই n = 4।

n^(n-1) × (অঙ্কগুলোর যোগফল) × (১…nতম বার)

= 4³ × (1 + 2 + 3 + 4) × 1111

= 64 × 10 × 1111 = 711040

উদাহরণ ২: পুনরাবৃত্তি ছাড়া

২, ৩, ৪ এবং ৫ ব্যবহার করে চার অঙ্কের যতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়, তাদের যোগফল বের করতে হবে। এ ক্ষেত্রে অঙ্কের পুনরাবৃত্তি করা যাবে না।

যেহেতু কোনো অঙ্ক দুবার ব্যবহার করা যাবে না, তাই আমরা প্রথম সূত্রটি ব্যবহার করব। এখানেও n = 4।

(n-1)! × (অঙ্কগুলোর যোগফল) × (১…nতম বার)

= (4-1)! × (2 + 3 + 4 + 5) × 1111

= 6 × 14 × 1111 = 93324

শেষে একটি ধাঁধা

সবশেষে একটি ধাঁধা। বলতে পারো, একজন সাধারণ মানুষের জীবনে মোট কয়টি জন্মদিন আসে?

সূত্র: হাউ টু বি আ ম্যাথ ম্যাজিশিয়ান অবলম্বনে।