মজার প্যারাডক্স: ২৩ জনেই ৫০% সম্ভাবনা জন্মদিন মেলার

প্যারাডক্স: অসম্ভবের গোলকধাঁধায় যুক্তির খেলা

ধরুন, আপনি একটি টাইম মেশিনে চড়ে অতীতে গিয়ে আপনার দাদাকে এমন এক সময় হত্যা করলেন, যখন আপনার বাবার জন্মই হয়নি! তাহলে কী দাঁড়াল? আপনার বাবার যদি জন্মই না হয়, তবে আপনারও জন্ম হয়নি। আপনার যদি জন্মই না হয়, তবে অতীতে গিয়ে আপনার দাদাকে হত্যা করল কে? বিষয়টা কি একটু গোলমেলে হয়ে গেল? বিখ্যাত সায়েন্স ফিকশন মুভিগুলোতে এমন টাইম ট্রাভেলের মারপ্যাঁচ আমরা প্রায়ই দেখি। একে বিজ্ঞানের ভাষায় বলে গ্র্যান্ডফাদার প্যারাডক্স। সহজ কথায়, প্যারাডক্স হলো এমন এক অদ্ভুত গোলকধাঁধা, যা আপাতদৃষ্টিতে পুরোপুরি অসম্ভব বা স্ববিরোধী মনে হলেও, এর গভীরে লুকিয়ে থাকে নিখুঁত যুক্তি। সেসব যুক্তির বেশিরভাগই পদার্থবিজ্ঞানের।

তবে পদার্থবিজ্ঞানের জটিল সব থিওরি নিয়ে মাথা ঘামানোর আগে চলুন আজ একটু গা গরম করে নেওয়া যাক। এখন আপনাদের এমন কিছু মজার প্যারাডক্স শোনাব, যেগুলো শুনতে খুব সোজা মনে হলেও সমাধান করতে গেলে রীতিমতো ঘাম ছুটে যায়। অবশ্য এগুলোকে ঠিক প্যারাডক্স বলা যায় না, এগুলো মূলত একটু জটিল যুক্তির খেলা। কিন্তু মজার ব্যাপার হলো, এগুলো বুঝতে আপনার কোনো বড় বিজ্ঞানী বা গণিতবিদ হওয়ার দরকার নেই, একটু বুদ্ধি খাটালেই চলবে।

এই ধাঁধাগুলোকে আমরা মূলত দুই ভাগে ভাগ করতে পারি। একটি ভেরিডিক্যাল, অন্যটি ফলসিডিক্যাল। নামগুলো শুনতে বেশ খটমটে, তাই না? চলুন সহজ করে বলি। ভেরিডিক্যাল প্যারাডক্স হলো এমন এক অদ্ভুত সমস্যা, যার উত্তরটা শুনে আপনার সাধারণ বুদ্ধি বলবে, ‘কী যা-তা বলছে, এটা কোনোভাবেই সম্ভব না!’ অথচ একটু গভীরে গেলেই দেখবেন, এর ভেতরের যুক্তি একদম খাঁটি। এই যেমন মন্টি হল প্যারাডক্স বা বার্থডে প্যারাডক্স হলো ভেরিডিক্যাল। এগুলো নিয়ে আমরা একটু পরেই জানব।

—

এবার ফলসিডিক্যাল প্যারাডক্সের সংজ্ঞাটা একটু বলে নিই। ফলিসিডিক্যাল হলো ভেরিডিক্যালের ঠিক উল্টো। এই ধাঁধাগুলো শুরু হবে খুব সুন্দর ও স্বাভাবিকভাবে, কিন্তু শেষে গিয়ে এমন একটা গাঁজাখুরি উত্তর দাঁড় করাবে যে আপনার মনে হবে, ‘কোথাও একটা বিশাল ঘাপলা আছে!’ যেমন ধরুন ২ = ১ প্রমাণ করা! এই ধরনের ধাঁধায় অঙ্কের কোনো একটা ধাপে ইচ্ছা করে শূন্য (০) দিয়ে ভাগ করার মতো কোনো বিশাল গাণিতিক ভুল লুকিয়ে রাখা হয়। তবে চিন্তা নেই, এখন আমি আপনাদের বোরিং কোনো বীজগণিত শেখাব না। চলুন প্রথমে দুটি দারুণ ফলসিডিক্যাল প্যারাডক্স দিয়ে শুরু করা যাক। কথা দিচ্ছি, এগুলো বুঝতে খুব বেশি মাথা খাটাতে হবে না।

হারিয়ে যাওয়া ১ ডলারের রহস্য!

তিনজন বন্ধু মিলে এক রাতের জন্য একটি হোটেলে গেল। হোটেলের রিসিপশনিস্ট তাঁদের জানাল, তিনটি বিছানাসহ ওই রুমের ভাড়া ৩০ ডলার। তিন বন্ধু খুশি মনে ১০ ডলার করে চাঁদা তুলে ৩০ ডলার পরিশোধ করে রুমের চাবি নিয়ে চলে গেলেন।

কিন্তু কিছুক্ষণ পরই রিসিপশনিস্ট বুঝতে পারল, সে একটা মস্ত বড় ভুল করে ফেলেছে! হোটেলে ওই সপ্তাহে বিশাল ডিসকাউন্ট চলছে, তাই রুমের ভাড়া আসলে ২৫ ডলার। ম্যানেজারের বকা খাওয়ার ভয়ে সে দ্রুত ক্যাশ বাক্স থেকে ৫ ডলারের পাঁচটি নোট বের করে দৌড়ে তিন বন্ধুর রুমের দিকে রওনা দিল।

কিন্তু সিঁড়ি দিয়ে ওঠার সময় তার মাথায় একটা কুটিল বুদ্ধি এল। সে ভাবল, ৫ ডলার তো আর ৩ জনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যায় না। তাই সে তিন বন্ধুকে ১ ডলার করে মোট ৩ ডলার ফেরত দিল এবং বাকি ২ ডলার নিজের পকেটে লুকিয়ে রাখল। ভাবল, এতে সবাই খুশি থাকবে!

এখন বলুন তো, আসল সমস্যাটা কোথায়? তিন বন্ধু শুরুতে দিয়েছিলেন ১০ ডলার করে। কিন্তু ১ ডলার করে ফেরত পাওয়ায় তাঁদের প্রত্যেকের খরচ হলো ৯ ডলার করে। তাহলে ৩ জনের মোট খরচ হলো ৯ × ৩ = ২৭ ডলার। অন্যদিকে রিসিপশনিস্টের পকেটে আছে চুরি করা ২ ডলার। তাহলে মোট হলো ২৭ + ২ = ২৯ ডলার! কিন্তু শুরুতে তো তাঁরা ৩০ ডলার দিয়েছিলেন। তাহলে বাকি ১ ডলার হাওয়া হয়ে গেল কোথায়?

একটু ভেবে দেখুন তো উত্তরটা বের করতে পারেন কি না! প্রথমবার শোনার পর আমি নিজেও বেশ বোকা বনে গিয়েছিলাম।

আসলে এই ১ ডলার কোথাও হারিয়ে যায়নি। ধাঁধাটা ইচ্ছা করেই এমন গোলমেলেভাবে বলা হয়েছে, যাতে আপনি হিসাবে ভুল করেন। এখানে রিসিপশনিস্টের পকেটে থাকা ২ ডলারের সঙ্গে ওই ২৭ ডলার যোগ করার কোনো যৌক্তিক কারণই নেই! কারণ, আমাদের মোট ৩০ ডলারের হিসাব মেলানোর তো কোনো দরকার নেই। বরং তিন বন্ধুর দেওয়া ওই ২৭ ডলার থেকে রিসিপশনিস্টের চুরি করা ২ ডলার বাদ দিলেই আমরা আসল ২৫ ডলার পেয়ে যাব, যা হোটেলের ক্যাশ বাক্সে জমা আছে!

বার্ট্রান্ড বক্স প্যারাডক্স

আমাদের দ্বিতীয় প্যারাডক্সটির জনক উনবিংশ শতাব্দীর ফরাসি গণিতবিদ জোসেফ বার্ট্রান্ড। ধরুন, আপনার সামনে তিনটি বাক্স রাখা আছে। প্রতিটি বাক্সের ভেতরে একটি দেয়াল তুলে দুটি ভাগ করা আছে এবং প্রতিটি ভাগে একটি করে কয়েন রাখা আছে।

• প্রথম বাক্সে দুটি সোনার কয়েন আছে। একে আমরা বলব GG।
• দ্বিতীয় বাক্সে আছে দুটি রুপার কয়েন। একে বলব SS।
• তৃতীয় বাক্সে একটি সোনার এবং একটি রুপার কয়েন আছে। একে বলব GS।

এখন আপনাকে চোখ বন্ধ করে যেকোনো একটি বাক্স বেছে নিতে বলা হলো। এখন আপনার বেছে নেওয়া বাক্সটি তৃতীয় বাক্স বা GS হওয়ার সম্ভাবনা কতটুকু? মানে আপনার বেছে নেওয়া বাক্সে সোনা ও রুপার কয়েন থাকার সম্ভাবনা কতটা?

আপনি হয়তো বলবেন, ‘এ আর এমন কী! ৩টি বাক্সের মধ্যে ১টি, তার মানে সম্ভাবনা ৩ ভাগের ১ ভাগ। অর্থাৎ এক-তৃতীয়াং (১/৩)।’

একদম ঠিক। কিন্তু আসল খেলা তো সবে শুরু!

এবার আপনি আপনার বেছে নেওয়া বাক্সটির যেকোনো এক দিকের ঢাকনা খুলে দেখলেন, ভেতরে একটি সোনার কয়েন রাখা আছে। এবার বলুন তো, এই বাক্সটিতে সোনা ও রুপার কয়েন থাকার সম্ভাবনা কতটা?

আপনি হয়তো ভাববেন, ‘যেহেতু সোনার কয়েন একটা পেয়েছি, তার মানে এটি কোনোভাবেই SS বা দুটি রুপার কয়েনওয়ালা বাক্স নয়। তাহলে এটি হয়তো GG বা GS হবে। মানে দুটি সোনার কয়েনওয়ালা বা একটি সোনার এবং একটি রুপার কয়েনওয়ালা বাক্স। যেহেতু ২টা অপশন বাকি, তার মানে এটি সোনা ও রুপার কয়েনওয়ালা বাক্স (GS) হওয়ার সম্ভাবনা এখন অর্ধেক!

একইভাবে আপনি যদি প্রথমে রুপার কয়েন পেতেন, তাহলেও আপনি হিসাব করে বলতেন এটি সোনা ও রুপার (GS) বাক্স হওয়ার সম্ভাবনা অর্ধেক। কিন্তু একটু ভেবে দেখুন তো! আপনি যেকোনো ঢাকনাই খুলুন না কেন, আপনি তো জানেনই যে সেখানে হয় সোনার কয়েন থাকবে, না হয় রুপার কয়েন। তাহলে একটা কয়েন শুধু চোখের সামনে দেখার কারণে কীভাবে ৩ ভাগের ১ ভাগের সম্ভাবনা হঠাৎ করে ২ ভাগের ১ ভাগে বদলে যায়? চোখের দেখা কি জাদুর মতো গণিতের হিসাব পাল্টে দিতে পারে?

না, পারে না! আসল উত্তর হলো, আপনি ভেতরে যাই দেখুন না কেন, বাক্সটি GS হওয়ার সম্ভাবনা সব সময় ওই ৩ ভাগের ১ ভাগই থাকবে।

কীভাবে? চলুন বুঝিয়ে বলি। ধরুন, আপনি সোনার কয়েন পেয়েছেন। আমাদের কাছে মোট সোনার কয়েন আছে ৩টি। ধরলাম, GG বাক্সের সোনার কয়েন দুটির নাম G1 এবং G2। GS বাক্সের সোনার কয়েনটির নাম G3। আপনি যখন ঢাকনা খুলে একটি সোনার কয়েন দেখলেন, তখন সেটি কিন্তু G1 বা G2 হওয়ার সম্ভাবনাই বেশি। অর্থাৎ ৩ ভাগের ২ ভাগ। সেটি যে GS বাক্সের একমাত্র সোনার কয়েন G3 হবে, তার সম্ভাবনা তো সেই ৩ ভাগের ১ ভাগই থেকে যাচ্ছে!

বার্থডে প্যারাডক্স

এতক্ষণ তো আমরা ফলসিডিক্যাল প্যারাডক্স নিয়ে মাথা ঘামালাম। এবার চলুন এমন একটা প্যারাডক্স নিয়ে কথা বলি, যার মধ্যে কোনো চালাকি বা ফাঁকিবাজি নেই। এর পেছনের গণিত শতভাগ খাঁটি, কিন্তু উত্তরটা শুনলে আপনার সাধারণ বুদ্ধি তা কিছুতেই মানতে চাইবে না! এই অবিশ্বাসটাই হলো এই ধাঁধার সবচেয়ে বড় মজা।

ধাঁধাটি হলো: ‘একটি রুমে অন্তত কতজন মানুষ থাকলে, তাঁদের মধ্যে যেকোনো দুজনের জন্মদিন একই দিনে হওয়ার সম্ভাবনা ৫০-৫০ বা অর্ধেকের চেয়ে বেশি হবে?’

প্রথমে আমাদের কমনসেন্স কী বলে সেটা একটু ভাবি। বছরে তো ৩৬৫ দিন থাকে। ধরুন, একটা বিশাল রুমে ৩৬৫টা খালি চেয়ার আছে। সেখানে যদি ১০০ জন ছাত্র ঢুকে এলোমেলোভাবে বসতে শুরু করেন, তবে অর্ধেকের বেশি চেয়ার তো খালিই পড়ে থাকবে। তাই দুজনের একই চেয়ার বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা খুবই কম মনে হয়, তাই না?

একইভাবে জন্মদিনের ক্ষেত্রেও আমাদের মনে হয়, ৩৬৫ দিনের মধ্যে মাত্র কয়েকজন মানুষের জন্মদিন মিলে যাওয়াটা তো বেশ দুর্লভ একটা ব্যাপার! ৩৬৬ জন মানুষ থাকলে আমরা নিশ্চিতভাবে বলতে পারি, দুজনের জন্মদিন মিলবেই। কিন্তু মানুষ যদি কম হয়, তবে?

শুনলে আপনি হয়তো চমকে যাবেন। একটি রুমে যদি মাত্র ৫৭ জন মানুষ থাকে, তবে তাদের মধ্যে দুজনের জন্মদিন একই দিনে হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় ৯৯ শতাংশ! অর্থাৎ, এটা প্রায় নিশ্চিত যে দুজনের জন্মদিন মিলবেই। আর যদি প্রশ্ন করা হয়, কতজন থাকলে এই সম্ভাবনা ৫০ শতাংশের চেয়ে বেশি হবে? উত্তরটা হলো, মাত্র ২৩ জন!

কী, বিশ্বাস হচ্ছে না তো? মনে হচ্ছে কোথাও একটা বিশাল ঘাপলা আছে? চলুন, অঙ্কের হিসাবটা মিলিয়ে দেখি। তবে শুরুতে আমরা ধরে নিচ্ছি বছরটি লিপ ইয়ার নয় এবং রুমে কোনো যমজ ভাইবোনও নেই।

আমরা অনেকেই যে ভুলটা করি তা হলো, আমরা ২৩ জন মানুষের সঙ্গে ৩৬৫ দিনের তুলনা করি। কিন্তু আসলে আমাদের হিসাব করতে হবে জোড়া বা জুটির! যখন মাত্র ৩ জন মানুষ থাকেন, তখন তাঁদের মধ্যে জোড়া হতে পারে ৩টি (A-B, A-C, B-C)। কিন্তু ৪ জন হলে জোড়া হয়ে যায় ৬টি। আর যখন রুমে ২৩ জন মানুষ থাকেন, তখন তাঁদের মধ্যে কতটি জোড়া তৈরি হয় জানেন? পাক্কা ২৫৩টি জোড়া! এবার একটু ভেবে দেখুন, ৩৬৫ দিনের মধ্যে ২৫৩টি আলাদা জোড়ার যেকোনো একটির জন্মদিন মিলে যাওয়ার সম্ভাবনা কি খুব একটা অবাস্তব মনে হচ্ছে?

অঙ্কের ভাষায় হিসাবটা কীভাবে হয় জানেন? আমরা জন্মদিনের মিল খোঁজার বদলে, একে অপরের জন্মদিনকে এড়িয়ে যাওয়ার বা আলাদা হওয়ার সম্ভাবনা বের করব। প্রথম জনের পর দ্বিতীয় জনের জন্মদিন আলাদা হওয়ার সম্ভাবনা হলো ৩৬৫ দিনের মধ্যে ৩৬৪ দিন (৩৬৪/৩৬৫)। তৃতীয় জনের ক্ষেত্রে সেটি হবে ৩৬৩/৩৬৫। কিন্তু শর্ত হলো, প্রথম ও দ্বিতীয় জনের জন্মদিনও আলাদা হতে হবে। তাই সম্ভাবনাগুলো গুণ করতে হবে। এভাবে প্রথম ৩ জনের জন্মদিন একে অপরের থেকে আলাদা হওয়ার সম্ভাবনা: (৩৬৪/৩৬৫) × (৩৬৩/৩৬৫) = ০.৯৯১৮।

অর্থাৎ, এই ৩ জনের মধ্যে যেকোনো দুজনের জন্মদিন মিলে যাওয়ার সম্ভাবনা (১ - ০.৯৯১৮) = ০.০০৮২ বা ১ শতাংশেরও কম!

এভাবে আমরা যদি রুমে একজন করে মানুষ বাড়াতে থাকি এবং ভগ্নাংশগুলো গুণ করতে থাকি, তবে ২২টি ভগ্নাংশ গুণ করার পর (অর্থাৎ ২৩ জন মানুষের ক্ষেত্রে) একে অপরের জন্মদিন এড়িয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা দাঁড়াবে ০.৪৯২৭ বা ৪৯.২৭ শতাংশ। মানে, রুমে ২৩ জন মানুষ থাকলে তাঁদের মধ্যে অন্তত দুজনের জন্মদিন একই দিনে হওয়ার সম্ভাবনা: ১ - ০.৪৯২৭ = ০.৫০৭৩ বা ৫০.৭৩ শতাংশ! যা অর্ধেকের চেয়েও বেশি!

কী অদ্ভুত, তাই না? সামান্য একটু গণিতের হিসাব কীভাবে আমাদের চোখের সামনের চিরচেনা হিসাবগুলোকে একদম পাল্টে দেয়!

সূত্র: জিম আল খলিলি, প্যারাডক্স: দ্য নাইন গ্রেটেস্ট এনিগমাস ইন ফিজিক্স; নেচার এবং হার্ভার্ড বিজনেস স্কুল